1. 하나의 수를 여러 번 곱하는 연산 ¶
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| 언어별 명칭 | |
| 한자 | 指數 |
| 중국어 | 指数(Zhǐshù) |
| 일본어 | |
| 영어 | Power |
| Exponent | |
| Square(2제곱) | |
| Cube(3제곱) | |
대한민국에서는 중학교 1학년부터 배운다. 어떤 수 x를 n번 곱했을 때, x를 n번 쓰고 곱셈기호를 n-1번 써서 식으로 나타내기에는 불편하니까, 보기편하라고 x n 으로 쓰고, x의 n제곱(또는 x의 n승)이라고 읽는다. 사실, 지수보다는 로그가 먼저 나왔다고 하니, 우리는 수학을 거꾸로 배우고 있는 것(...)
$ {a}^{b} \times {a}^{c} = a^{b+c} $ (지수의 덧셈) (단, a＞0)
${a}^{b} \div {a}^{c} = a^{b-c}$ (지수의 뺄셈)
$({a}^{b})^{c} = a^{bc}$ (지수의 곱셈)
${a}^{b} \div {a}^{c} = a^{b-c}$ (지수의 뺄셈)
$({a}^{b})^{c} = a^{bc}$ (지수의 곱셈)
1.1. 지수의 확장 ¶
중학교 수준에서는 an 이 a를 n번 곱한 것으로 정의하지만 지수가 0이거나 음의 정수, 유리수 범위에서 이렇게 정의하기는 애매하다. 20 을 2를 0번 곱한 것으로 생각한다거나 2-1 을 2를 -1번 곱한다고 정의할 수는 없지 않은가? 거기에 21/2 를 생각하면 더 난감해진다.2를 1/2번 곱해? 2를 쓰다가 말라는 소린가?
그래서 이러한 지수들에는 새로운 정의가 필요하다. 자연수에서 성립되었던 $ a^b \times a^c = a ^{(b+c)} $ 에 대해 c=0인 경우를 살펴보면 $ a^b \times a^0 = a ^{(b+0)} = a^b $ 으로 생각할 수 있다. $ a^b $ 에 $ a^0 $ 을 곱해서 $ a^b $ 이 되었으므로 $ a^0 $ 을 연산에서의 곱셈에 대한 항등원으로 생각할 수 있다. 정수 범위에서 곱셈에 대한 항등원으로 $ a^0 $ 을 1로 정의하는 것이다.
$ a^b \times a^c = a ^{(b+c)} $ 에 대해 c=-b인 경우를 살펴보면 $ a^b \times a^{(-b)} = a ^{(b-b)} = a^0 = 1 $ 이다. ab 에 a-b 를 곱했더니 곱셈에 대한 항등원인 1이 나왔다. 따라서 $ a^{-b} $ 는 $ a^b $ 의 곱셈에 대한 역원으로 볼 수 있다. 따라서 $ a^{-b} = {1 \over a^{b} } $ 인 것이다.
$ x^{1 \over n} $ 을 생각해보자. $ x^{1 \over n} = a $ 로 둔 다음에 양변을 n제곱해보면 이것은 $ x = a^n $ 이므로 a를 x의 n제곱근으로 생각할 수 있다. 그래서 $ x^{1 \over n} = \sqrtn{x} $ 이 되는 것이다.
여기까지 하면 그나마 어느정도까지 왔다. 일단 유리수까지 정의했으니까. 다음은 중등교육과정 수준에서는 실수일때도 성립하니까 왜 그런지는 신경쓰지 말고 그냥 쓰라고 나온다. 어쩔수 없는게 중등교육과정 수준에서는 실수에 대해 엄밀한 정의를 하지 않고 넘어가고 있기 때문이다.
어찌되었건 실수의 성질 중에 조밀성(dense)이라는 성질은 무리수로 수렴하는 유리수 수열을 정의할 수 있다는 것이다. 예를 들자면 원주율 π에 대해 3,3.1,3.14,3.141,3.1415,…이 된다. 이것을 이용해 정의하면 일반적으로 a r 는 {a p | p는 r로 수렴하는 유리수 수열} 이러한 a p 의 극한으로 정의된다. 이렇게 하면 2π 는 23 , 23.1 , 23.14 ,…인 수열의 극한으로 정의된다. 사실 위에 있는 지수 법칙도 전부 e에 대해 성립함을 보여서 먼저 정의하고 자연로그를 통해 $ a^x = e^{x \log a} $ 를 이용해 일반적인 지수로 정의한다.
다음으로 복소수에서 정의하면 eix = cosx + isinx로 정의한다. 일반적인 복소수 지수는 $ x^z = x^{a+bi} = e^{(a+bi) \log x } $ 로 정의하게 된다. 이와 같은 방법을 통해 $ i^i $ 와 같은 수도 정의 할 수 있다. $ i^i = e^{i \log i } = e^{ i \cdot i \pi (2n+ {1 \over 2})} = e^{- \pi (2n+ {1 \over 2} ) } $ 가 되고, 주치를 택하게 되면 $ i^i = e^{- {\pi \over 2} } $ 가 된다. 즉 허수에 허수 제곱을 했더니 실수가 나오는 사태가 벌어진다.